Разминка для ума

Задачку такую загадали.
имеется 12 монеток. Одна из них фальшивка, отличается от настоящей только по весу. В какую сторону отличается - неизвестно. Внешне идентична. Также имеются рычажные весы без гирь, т.е. можно только сравнивать вес отдельных предметов.
Задача - максимум за 3 взвешивания выявить фальшивую.

Я ее сегодня решил. Может кто еще сподобится?
Интересно было бы сравнить решения.

Старая задачка из книги "Занимательная математика" 😊
Надо разделить на 3 части и взвешивать их. В которой будет отклонение, в той и фальшивая.

С условиями ничего не напутали? Давно решал похожую задачку, но было что фальшивка весит чуть меньше.

Вмут
С условиями ничего не напутали? Давно решал похожую задачку, но было что фальшивка весит чуть меньше.

Без разницы. Смысл в том, что фальшивая отличается по весу от остальных.

TSV
Старая задачка из книги "Занимательная математика" 😊
Надо разделить на 3 части и взвешивать их. В которой будет отклонение, в той и фальшивая.

По приведенным условиям не получается. На установление группы с фальшивой потребуется ДВА взвешивания. И как из 4 монет найти фальшивую за одно взвешивание?

Есть 12 мешков с монетами, в одном мешке все фальшивые, но сколько монет в каждом мешке неизвестно. Известен вес настоящей монеты и то на сколько фальшивая монета легче. Как за одно взвешивание на весах с гирями вычислить мешок с фальшивыми монетами?

TSV

Без разницы. Смысл в том, что фальшивая отличается по весу от остальных.

Да? 😛ipec: За первое взвешивание мы установим, что одна группа весит меньше. И что? В какой из них фальшивка?

Вмут

По приведенным условиям не получается. На установление группы с фальшивой потребуется ДВА взвешивания. И как из 4 монет найти фальшивую за одно взвешивание?

позволяется 3 взвешивания
12 делим на 3 кучки по 4. взвешиваем любые 2 кучки.
либо взвешиваемые будут равны, либо отличаться
которая отличается, то делим пополам.
второе взвешивание. взвешиваем по 2 монеты сразу
одна куча тяжелее.
третье взвешивание. делим кучку пополам и взвешиваем по одной монете. одна из двух и будет фальшивая.

TSV

позволяется 3 взвешивания
12 делим на 3 кучки по 4. взвешиваем любые 2 кучки.
либо взвешиваемые будут равны, либо отличаться
которая отличается, то делим пополам.
второе взвешивание. взвешиваем по 2 монеты сразу
одна куча тяжелее.
третье взвешивание. делим кучку пополам и взвешиваем по одной монете. одна из двух и будет фальшивая.

Я знаю этот алгоритм, но он не работает при условии что мы не знаем тяжелее фальшивка или легче!
Первое взвешивание. Одна группа тяжелее, другая легче. Какая из них группа с фальшивой монетой?

Вмут

Я знаю этот алгоритм, но он не работает при условии что мы не знаем тяжелее фальшивка или легче!
Первое взвешивание. Одна группа тяжелее, другая легче. Какая из них группа с фальшивой монетой?

Тогда ерунда получается.
С не меньшим успехом можно тогда утверждать что фальшивая тажелая. Кто-то другой скажет что легкая.
По условиям из "математики" было заранее определено что она отличается в определенную сторону

С условиями как раз все в порядке.
Если известно, в какую сторону масса фальшивой отклоняется от настоящей, то эта задача для 6-го класса.
В общем, думайте 😊 Я нашел алгоритм и он работает.

1. Делим на 4 кучки по 3 монеты, две взвешиваем, определяем, где фальшивка (дисбаланс - на весах, ровно - на столе)
2.1.Если дисбаланс, меняем одну тройку c весов на тройку со стола, определяем тройку с фальшивой и в какую сторону отличается фальшивка (+/-).
3.1. Взешиваем любые две монеты из этой тройки.

2.2.Если на весах было ровно, и ровно после замены, значит не повезло, фальшивая в тройке на столе, и в какую сторону отличается - неизвестно (вероятность неудачи 1/4).

есть такая же задачка с 13 монетами
легче-тяжелее неизвестно 3 взвешивания http://guns.allzip.org/topic/82/171835.html

Evgenius
Ну если вы все такие умные решите:

Имеется 12 настоящих золотых монет и 1 фальшивая.
По внешним признакам фальшивая неотличима от настоящей.
Известно, что фальшивая НЕ РАВНА по весу настоящей.
Имееются чашечные весы (как в школе на уроках физики или химии),
но только без гирек.
Путем взвешивания монет нужно найти фальшивую.
Можно взвешивать между собой любое количество монет.
НО имеется только ТРИ взвешивания.
Любое снятие показаний с весов считается взвешиванием.

Удачи.

goust
Есть 12 мешков с монетами, в одном мешке все фальшивые, но сколько монет в каждом мешке неизвестно. Известен вес настоящей монеты и то на сколько фальшивая монета легче. Как за одно взвешивание на весах с гирями вычислить мешок с фальшивыми монетами?

Элементарно Ватсон!
Нумеруем мешки. Из мешка ?1 берем 1 монету, из мешка ?2 - две и т.д. из мешка ?12 - двенадцать.
Кладем полученную кучу монет на весы и взвешиваем с гирями. 1 раз. Дальше математика элементарная....
Зная истиный вес монеты и фальшивки разница между вычисленным весом и взвешиванием даст номер мешка с фальшивыми монетами.

2Demetriu$

Originally posted by Evgenius:
Ну если вы все такие умные решите:
Имеется 12 настоящих золотых монет и 1 фальшивая.
По внешним признакам фальшивая неотличима от настоящей.
Известно, что фальшивая НЕ РАВНА по весу настоящей.
Имееются чашечные весы (как в школе на уроках физики или химии),
но только без гирек.
Путем взвешивания монет нужно найти фальшивую.
Можно взвешивать между собой любое количество монет.
НО имеется только ТРИ взвешивания.
Любое снятие показаний с весов считается взвешиванием.

Удачи.

Вот мое ИМХО
в условии сказано, что монеты из золота, отсюда вывод что фальшивка будет легче, по той причине, что все металлы с плотностью больше чем у золота(напомню 19.32гр/см куб) и стоят дороже т.е. подделка теряет смысл. А дальше делим монеты на две кучки по 6 монет и одна в остатке, взвешиваем(1) две кучки по 6 монет, если равны то оставшаяся фальшивая. Если не равны то берем ту которая весит меньше и делим на две кучки по три монеты, взвешиваем(2). Опять выбираем легкую кучку, у нас осталось три монеты. Взвешиваем(3) две монеты, если равны то оставшаяся фальшивая. Если не равны то та которая легче. 😊

в условии не сказано легче монета или тяжелее, в противном случае задача решается на два счета

Я сделал вывод о большей легкости фальшивых монет. Опровергните?

Всё тут просто.

Делим на 3 группы и сравниваем группу 1 и группу 2.

1. 1 и 2 равновесны. Тогда 3 - с фальшивой монетой.

Берём две любые монеты из группы 1 (заведомо настоящие) и две из группы 3.

1.1 Группы по 2 монеты оказались равновесны.

Значит фальшивая монета среди тех двух, что остались из группы 3. Берём одну из них и сравниваем с любой монетой из группы 1 (заведомо настоящей).

1.1.1 Монеты равновесны - оставшаяся монета группы 3 - фальшивая

1.1.2 Монеты разные - взвешиваемая монета из группы 3 - фальшивая.

Все другие комбинации поведения весов предлагаются уважаемым читателям в качестве самостоятельного упражнения.

Antti монет 13 всего, как на три группы разделить?

Внимательно читаем входной пост топика: "Задачку такую загадали.
имеется 12 монеток...."

VASILICH

Элементарно Ватсон!
Нумеруем мешки. Из мешка ?1 берем 1 монету, из мешка ?2 - две и т.д. из мешка ?12 - двенадцать.
Кладем полученную кучу монет на весы и взвешиваем с гирями. 1 раз. Дальше математика элементарная....
Зная истиный вес монеты и фальшивки разница между вычисленным весом и взвешиванием даст номер мешка с фальшивыми монетами.

Уважаемый! Ваше решение гениально, как и всё простое 😊, но не прокатит, если в мешках нет достаточного количества монет. В условии не сказано, что мешки большие и полные. Т.е. нужна оговорка.

Народ, внимательно читайте условия, не надо ничего домысливать. В условии нет никаких мешков, нет информации о материале монет.
2 Antti - Мое решение данной комбинации аналогично.

Прошу прощения. Я не вашу задачу решал а вот эту

Ну если вы все такие умные решите:
Имеется 12 настоящих золотых монет и 1 фальшивая.
По внешним признакам фальшивая неотличима от настоящей.
Известно, что фальшивая НЕ РАВНА по весу настоящей.
Имееются чашечные весы (как в школе на уроках физики или химии),
но только без гирек.
Путем взвешивания монет нужно найти фальшивую.
Можно взвешивать между собой любое количество монет.
НО имеется только ТРИ взвешивания.
Любое снятие показаний с весов считается взвешиванием.

Удачи.

PS С вашей задачей и так все понятно с самого начала было.

DIZZI
Прошу прощения. Я не вашу задачу решал а вот эту

[b]Ну если вы все такие умные решите:
Имеется 12 настоящих золотых монет и 1 фальшивая.
По внешним признакам фальшивая неотличима от настоящей.
Известно, что фальшивая НЕ РАВНА по весу настоящей.
Имееются чашечные весы (как в школе на уроках физики или химии),
но только без гирек.
Путем взвешивания монет нужно найти фальшивую.
Можно взвешивать между собой любое количество монет.
НО имеется только ТРИ взвешивания.
Любое снятие показаний с весов считается взвешиванием.

Удачи.

PS С вашей задачей и так все понятно с самого начала было.

[/B]

А чтой-то мне кажется, что мой, очевидный, способ годится и для 13 монет: группы 5 + 5 + 3.

Antti
Всё тут просто.

Делим на 3 группы и сравниваем группу 1 и группу 2.

1. 1 и 2 равновесны. Тогда 3 - с фальшивой монетой.

Берём две любые монеты из группы 1 (заведомо настоящие) и две из группы 3.

1.1 Группы по 2 монеты оказались равновесны.

Значит фальшивая монета среди тех двух, что остались из группы 3. Берём одну из них и сравниваем с любой монетой из группы 1 (заведомо настоящей).

1.1.1 Монеты равновесны - оставшаяся монета группы 3 - фальшивая

1.1.2 Монеты разные - взвешиваемая монета из группы 3 - фальшивая.

Все другие комбинации поведения весов предлагаются уважаемым читателям в качестве самостоятельного упражнения.

Предложенная вами схема решения задачи ?2 не дает ТРЕХ взвешиваний, а именно так стоит условие. Ваша схема работает только как частный случай. У меня пока меньше 4-х взвешиваний не выходит. Думаю дальше.

VASILICH

Предложенная вами схема решения задачи ?2 не дает ТРЕХ взвешиваний, а именно так стоит условие. Ваша схема работает только как частный случай. У меня пока меньше 4-х взвешиваний не выходит. Думаю дальше.

Не понял, какой задачи.

Antti

Уважаемый! Ваше решение гениально, как и всё простое 😊, но не прокатит, если в мешках нет достаточного количества монет. В условии не сказано, что мешки большие и полные. Т.е. нужна оговорка.

Мешок , в котором не больше 12 монет это не мешок , а кошелек, при том не большой. Оговорки не нужны.

VASILICH

Мешок , в котором не больше 12 монет это не мешок , а кошелек, при том не большой. Оговорки не нужны.

Василич, все относительно, либо монетки большие, либо мешки лилипуты притащили-))))))))))))))))

VASILICH

Мешок , в котором не больше 12 монет это не мешок , а кошелек, при том не большой. Оговорки не нужны.

Не-е-е. Мешок может быть хоть с Кремль, но сколько в нём монет - не сказано. Например, везде по пять-шесть штук. Как Вы выборку сделаете?

И чего я не так решил? Взвешивания специально пронумерованы:

1.
1.1
1.1.1
- ровно три.

В зависимости от поведения весов могут появиться

1.1.2
1.2

но число-то будет то же.

Antti
И чего я не так решил? Взвешивания специально пронумерованы:

1.
1.1
1.1.1
- ровно три.

В зависимости от поведения весов могут появиться

1.1.2
1.2

но число-то будет то же.

не врубился, пожалуйста подробно распишите...
С уважением, Василич

Не могу. Оказывается, вариант, когда при первом взвешивании весы кренятся, хдорово всё усложняет. Будем думать ещё.

С ув.
Antti

ОК.

Условимся, что группы пронумерованы перед взвешиваниями, и что в тексте объяснения слова "монета группы N" означают, что данная монета была в группе N до начала всех взвешиваний. Можно придумать и другую систему имён, но дольше сочинять.

Делим монеты на 3 группы и сравниваем группу 1 и группу 2.

1. Группы 1 и 2 равновесны. Тогда 3 - с фальшивой монетой.

Выполнено одно взвешивание.

Вариант: "группы 1 и 2 разные" обозначим цифрой два и рассмотрим ниже, а пока

берём две любые монеты из группы 1 (заведомо настоящие) и две из группы 3.

Проводим взвешивание (это уже второе).

1.1 Группы по 2 монеты оказались равновесны.

Значит фальшивая монета среди тех двух, что остались из группы 3. Берём одну из них и сравниваем с любой монетой из группы 1 (заведомо настоящей).

Т.е. производим третье и последнее взвешивание.

1.1.1 Монеты равновесны - оставшаяся монета группы 3 - фальшивая

1.1.2 Монеты разные - взвешиваемая монета из группы 3 - фальшивая.

Вариант 1.2: При втором взвешивании группы по две монеты оказались разными по весу. Поскольку монеты из группы 1 - настоящие, то среди двух монет, взятых из группы 3, есть фальшивая. Причём мы уже по весам видим, легче она или тяжелее, чем настоящая, хотя нам это и не нужно.

Берём любую из этих двух монет группы 3 и сравниваем с любой монетой из группы 1 или 2.

Это будет третье взвешивание.

Если весы кренятся, то фальшивая - монета на весах, если нет, то оставшаяся.

............................................

Теперь вернёмся к началу и рассмотрим вариант 2, т.е. группы 1 и 2 - весят розно. Пусть для определённости 1 группа легче (запомним).

Итак, группа 3 - настоящая.

Второе взвешивание сделаем так: на одну чашку положим две монеты 3, одну 1 и одну 2. На другую - по две монеты 1 и 2, а ещё по одной монете 1 и 2 останется в резерве. Обозначим их 1р и 2р.

Взвешиваем.

А. Если ровно, то фальш - в резерве. Определяется оставшимся взвешиванием.

Б. Если чашка, где есть монеты 3, легче, то вариантов два.

1. Монета 1 - фальш.
2. Среди монет 2 на другой чашке есть фальш.
В обоих случаях мы имеем заведомо хорошие монеты 1 на чашке без 3, заведомо хорошую монету 2 на чашке с монетами 3 и заведомо хорошие монеты в резерве.

В. Если чашка, где есть монеты 3, тяжелее, то вариантов два.

1. Монета 2 - фальш.
2. Среди монет 1 на другой чашке есть фальш.

Рассмотим Б, а В решается симметрично.

Положим на одну чашку две заведомо хорошие монеты из группы 1 и монету 2, что лежала вместе с монетами 3 при втором взвешивании.

На другую чашку положим монету 3, подозрительную монету 1 и одну из подозрительных монет 2, что взвешивались вместе с 1 на одной чашке.

Взвешиваем последний раз.

1. Ровно. Фальш монета - вторая 2-ка, что взвешивалась вместе с 1, а теперь не взвешивается.
2. Чашка с 3 перетягивает. Фальш - монета 2 , что на этой чашке.
3. Чашка с 3 легче. Фальш - монета 1, что на этой чашке.

А вот из физики: стальную пружину зажали в золотые тиски и погрузили в кислоту, естесссно пружина растворилась, куда девалась потенциальная энергия сжатой пружины?

Кислота нагрелась. Это залепуха старая.

goust
А вот из физики: стальную пружину зажали в золотые тиски и погрузили в кислоту, естесссно пружина растворилась, куда девалась потенциальная энергия сжатой пружины?

ушла на увеличение энтропии 😊

Умные все! 😊

По просьбе товарией выкладываю свое решение

12 монет - делим на 3 кучи по 4 штуки.

Взвешивание 1.
произвольно выбираем 2 кучки из 3 и кладем на чаши весов.

- вариант 1: весы в равновесии. Значит 8 монет настоящие. Их откладываем отдельно. Фальшивая находится в оставшихся 4.

Взвешивание 2.
Из оставшихся 4 монет берем 2 и кладем на одну чашу весов. На другую - 2 настоящие Если весы в равновесии, то фальшивая среди двух оставшихся. Если нет, то среди положенных на чашу. В любом случае получаем 2 монеты, из которых одна фальшивая

Взвешивание 3.
Из оставшихся двух выбираем одну и сравниваем ее вес с настоящей. Если весы в равновесии, то фальшивая - последняя оставшаяся. Если не в равновесии, то фальшивая на чаше весов.

- вариант 2: правая чаша тяжелее левой.

Отсюда следует что фальшивая монета на весах, а 4 оставшиеся монеты настоящие (откладываем их отдельно), а также по наличию фальшивой монеты есть 2 варианта.
А) Если фальшивая монета находится на левой чаше весов, то она легче настоящей.
Б) Если фальшивая монета находится на правой чаше весов, то она тяжлее настоящей.
Иных вариантов в принципе нет.
Итак, получилось две группы по 4 монеты - одна группа легче, другая тяжелее
(и не забываем по 4 заведомо настоящие монеты)

Взвешивание 2.
Содержимое левой чаши (более легкая группа) делим на 2 кучки по 2 монеты. Затем к первой куче добавляем одну настоящую монету (не забывая какую конкретно) ко второй куче - одну монету из более тяжелой группы (также не забывая какую конкретно).
Таким образом,
в левой чаше весов у нас 2 монеты из более легкой группы и 1 настоящая.
В правой чаше 2 монеты из более легкой группы и 1 из более тяжелой.
3 монеты из более тяжелой группы у нас остались под вопросом.
Возможны 3 варианта:

Вариант 1. Весы в равновесии - все 6 монет настоящие. фальшивая находится среди 3 оставшихся под вопросом. Также можно сделать вывод что фальшивая тяжелее настоящей (гипотеза Б ).

Взвешивание 3.
Взвешиваем 2 из 3. Если весы в равновесии, то фальшивая - оставшаяся. Если не в равнвесии, то та, которая тяжелее.

Вариант 2. Левая чаша (с одной настоящей монетой) тяжелее чем правая. Поскольку правая чаша легче, то в левой чаше также все настоящие, и добавленная из более тяжелой группыф тоже настоящая. Фальшивая, более легкая, в правой чаше.

Взвешивание 3.
Из содержимого правой чаши убираем добавленную из более тяжелой группы монету и на чаши весов кладем две оставшиеся. Та что легче - фальшивая.

Вариант 3. Левая чаша (с одной настоящей монетой) легче чем правая. Фальшивая - либо находится в левой чаше, либо добавленная во вторую кучу из более тяжелой группы.

Взвешивание 3.
Из содержимого левой чаши убираем настоящую монету и на чаши весов кладем две оставшиеся (из более легкой группы). Если весы в равновесии, то взвешиваемые монеты настоящие, фальшивая - добавленная из более тяжелой группы. Если не в равновесии, то фальшивая та, которая легче.

Взвешивание 1, вариант 3: левая чаша тяжелее правой. Аналогично варианту 2, только на 2 кучи по 2 монеты раскладываем содержимое правой, более легкой чаши.

Antti молодец, оъявляю благодарность 😊

Таким образом, если в моём решении никто не укажет ошибку, есть по меньшей мере два решения задачи. Первое моё решение было ошибочно, впрочем, я об этом уже писал.

alex_kerby
По просьбе товарией выкладываю свое решение

12 монет - делим на 3 кучи по 4 штуки.

😊

Алекс!
В условии задачи говориться про 13 (ТРИНАДЦАТЬ) монет!

VASILICH

Алекс!
В условии задачи говориться про 13 (ТРИНАДЦАТЬ) монет!

С чего Вы взяли? Внимательнее первый пост в теме почитайте.

alex_kerby
имеется 12 монеток. Одна из них фальшивка

DIZZI
Прошу прощения. Я не вашу задачу решал а вот эту

[b]Ну если вы все такие умные решите:
Имеется 12 настоящих золотых монет и 1 фальшивая.
По внешним признакам фальшивая неотличима от настоящей.
Известно, что фальшивая НЕ РАВНА по весу настоящей.
Имееются чашечные весы (как в школе на уроках физики или химии),
но только без гирек.
Путем взвешивания монет нужно найти фальшивую.
Можно взвешивать между собой любое количество монет.
НО имеется только ТРИ взвешивания.
Любое снятие показаний с весов считается взвешиванием.

Удачи.

PS С вашей задачей и так все понятно с самого начала было.

[/B]

Сергей! Посмотрите внимательно, может, у Вас есть третье решение. Интересно, сколько их всего найдётся, заметно отличающихся.